《史记·律书第三》中的十二律
【十二律】
音律是中国古代关于音乐和其权衡事物的一门学说，并且认为音律是万事万物的根本。古代的音律分为五音和十二律。
《礼记》说：“声成文谓之音。音之数五。”五音，是指宫、商、角、徵、羽五音。
其中宫属喉音，五行为土，为五音之首，其音极长、极下、极浊；徵属舌音，五行为火，其声次高、次短、次清；商属齿音，五行为金，其声次长、次下、次浊；羽属唇音，五行为水，其声极短、极高、极清；角属牙音，五行为木，其声于长短高下清浊之间。
五音分阴和阳，一变而为十，即太宫、少宫、太商、少商、太角、少角、太徵、少徵、太羽、少羽。
律，本来是用来定音的竹管，古人用十二个不同长度的律管，吹出十二个高度不同的标准音，以确定乐音的高低，故这十二个标准音也就叫做十二律。
从低到高依次为：
黄钟－大吕－太簇－夹钟－姑洗－中吕－蕤宾－林钟－夷则－南吕－无射－应钟。
太簇又作太蔟、太族、大族、大蔟、泰簇、泰族；中吕又作仲吕；洗，音xiǎn；无射又作亡射，射，音yì。
在十二律中，以黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、无射为阳，称六律，又称阳律；以林种、南吕、应种、大吕、夹钟、仲吕为阴，称六吕，又称阴律。两者合称为律吕，后来作为音律的统称。
其他相关释义：
《律历志》说；“宫者，中也，居中央畅四方，唱始施生为四声之径。商者，章也，物成事明也。角者，触也，阳气蠢动，万物触地而生也。徵者，祉也，万物大盛蕃祉也。羽者，宇也，物藏聚萃宇复之也。”这是对五音其义的解释。
从听觉感觉来说，则是宫音浑厚较浊，长远以闻；商音嘹亮高畅，激越而和；角音和而不戾，润而不枯，徵音焦烈燥恕，如火烈声；羽音圆清急畅，条达畅意。
五音又与五行有密切的联系。《乐纬》说“孔子曰；丘吹律定姓一言得上曰宫，三言得火口徵，五言得水曰羽，七言得金日商，九言得木日角，此并是阳数、”则进一步明确了宫为土、徵为火、羽为水、商为金、角为木的配比关系。
宋朝沈括说：“一律含五音，十二律纳六十音也、尾气始于东方而左行。音起于西方而右行，阴阳根错而生变化、所谓气始于东方者。四时始于木，右行传于火，火传于土，土传于金，金传于水、所谓音始于西方者，五音始于金，在旋传于火，火传于木，木传于水。水传于土、”实际上。五行是顺四季之气而生。五音刚逆五行之序而传。相反相成，错综变化。
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《蠡海集》说“万物之所为以生者，必由气。气者何？金也。金受光顺行则为五行立体，逆行则为五行之用。顺行为五行之体者，金生火，水生木，木生火。火生土，冬至起历元，自冬而春。春而夏，夏而长夏，长夏而归于秋。返本归原而收敛也。逆行为五行之用者。金出矿而从革。于火以成材，成材则为有生之用。然火非木不生，必循木以继之，木必依水以滋荣，水必托上以止畜。故木而水，水而土，是则五行之类，土以定位。”这是从取类比象的角度来说明五音逆行之因。
其实，五音逆行之理，是祖还易象之意，亦即先后天八卦之理、下面，可以从先天图及后天图中予以说明。
先天八卦图中，乾兑居首属金，次以离属火。又次震巽属木，又次之以坎属水。终于艮坤属土。为什么开始于金结束于土，是取乾始坤成之意。金取天之刚，土取地之柔，火附于天，水附于地，而未以生气居中、所以五音逆五行本于先天八卦之序。
后天八卦图中，也是乾居首而逆转，自韩兑之金旺于西方，次转为离火旺于南方，又次转为震巽之木旺于东方，再次转为坎水旺于北方，而土旺于四季，所以退艮坤以后终、因此五音逆五行亦合于后天八卦之序。
古乐的十二调。阳律六：黄钟、太簇、姑洗、蕤宾、夷则、亡射；阴律六：
大吕、夹钟、中吕、林钟、南吕、应钟共为十二律。《汉书．律历志》）古仅称六
律，《吕氏春秋》始以律与历附合，以十二律应十二月，又名十二月律。太清玉册》卷八载：正月大蔟、二月夹钟、三月姑洗、四月中吕、五月蕤宾、六月林钟、七 月夷则、八月南吕、九月无射，十月应钟，十一月黄钟，十二月大吕。指十二个
标准音。即用十个长度不同的律管，吹出十二种标准音，叫十二律。奇数六律为阳律，偶数六律为阴律，称为六吕；阴阳各六律，总称律吕。养生家用以言气化作用 。《周易参同契》：”故易统天心，复卦建始萌，长子继父体，因母立兆基。消息应钟律，升降据斗枢〃。又：”黄钟建子，兆乃滋彰〃，”丑之大吕，结正低昴〃
“十二律”就是将一个八度平分为十二个半音。早在公元前522年(即周景王二十三年)，周景王想铸造钟，就向他的名叫州鸠的乐官询问有关音律问题，州鸠讲了关于律和数的关系，并列举了十二律的名称。此事记载在《国语》一书中，《国语》成书于战国初期，约为公元前5世纪。可见早在两千多年前，我国关于十二律的计算已经相当精确了。
十二律的具体名称如下。如果假设黄钟是现在钢琴上的“C”音，其他各律的则依次向上升半音
黄钟、大吕、太簇、夹钟、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、南吕、夷则、无射、应钟
十二律产生在我国春秋战国时期，这说明当时的音乐活动已经发展到相当高的水平。
古代乐律学名词，是古代的定音方法。即用三分损益法将一个八度分为十二个不完全相同的半音的一种律制。各律从低到高依次为：黄钟、大吕、太簇、夹种、姑洗、仲吕、蕤宾、林钟、夷则、南吕、无射、应钟。十二律又分为阴阳两类，凡属奇数的六种律称阳律，属偶数的六种律称阴律。另外，奇数各律称
“律”，偶数各律称“吕”，故十二律又简称“律吕”。
三分损益法
在司马迁的《史记》「律书第三」中写到︰「……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。」意思是取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为「宫音」的音高。然後，我们将其长去掉三分之一，也就是将81乘上2/3，就得到54单位，定为「徵音」。将徵音的竹管长度增加原来的三分之一，即将54乘上4/3，得到72单位，定为「商音」。再去掉三分之一（三分损），72乘2/3，得48单位，为「羽音」。再增加三分之一（三分益），48乘4/3，得64单位，为「角音」。而这宫、商、角、徵、羽五种音高，就称为中国的五音。
中国音乐中用来定音律的「三分损益法」，与古希腊「毕氏学派」中的「五度相生律」的方法相同。
三分损益与十二律的相关物理
在声学中，声音的高低（如西洋音乐中的唱名Do、Re、Mi、Fa……）指的是与物体振动的频率。当我们取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。
除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。我们将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为「八度音」。所以「三分损」（长度变为原先的2/3）与「三分益」（长度变为原先的4/3），彼此之间正是一个「八度音」的关系（4/3
是 2/3
的两倍）。由此，我们便可以从九九八十一的长度出发，试算前述藉由「三分损益」求得的长度，所得到的十二律︰
黄锺︰81；
林锺（由黄锺三分损而来）︰81 * 2/3 = 54；
太簇（由林锺三分益而来）︰54 * 4/3 = 72；
南吕（由太簇三分损而来）︰72 * 2/3 = 48；
姑洗（由南吕三分益而来）︰48 * 4/3 = 64；
应锺（由姑洗三分损而来）︰64 * 2/3 = 42.6667；
蕤宾（由应锺三分益而来）︰42.6667 * 4/3 = 56.8889；
大吕（由蕤宾三分益而来）︰56.8889 * 4/3 = 75.8519；
夷则（由大吕三分损而来）︰75.8519 * 2/3 = 50.5679；
夹锺（由夷则三分益而来）︰50.5679 * 4/3 = 67.4239；
无射（由夹锺三分损而来）︰67.4239 * 2/3 = 44.9492；
仲吕（由无射三分益而来）︰44.9492 * 4/3 = 59.9323；
清黄锺（黄锺的高八度音，由仲吕三分损而来）︰59.9323 * 2/3 =
39.9549。
我们注意到最後一个「清黄锺」的长度39.9546，与直接取「黄锺」长度的一半
40.5
仍有一段小小的差距，这就是「黄锺不能还原」的问题。因为在连乘十二次
2/3 或 4/3 後，最後的值不可能达到原始的 1/2。
另外，若在定律时不断地使用三分损益的操作，最後一定会出现除不尽的小数，使得在实际制作时容易产生误差。然而在现实上，准确度（Percision）与精确度（Accuracy）绝对有其极限，所以经过十二次的三分损益之後，已经可以构成一个（不甚完美）的音阶循环。这也是为何中西音乐理论中，都不约而同地发展出以「12音阶」为主流的原因。之後才会出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法。
从上面所计算出来的结果，我们对照《史记．律书》中的文字，便可发现当中的抄录错误。宋代沈括的《梦溪笔谈》，便记载了《律书》当中出现「七分」之类的文字，当为「十分」的误写。因此原文中的黄锺「八寸七分一」为「八寸十分一、81分」才合理。以下列出古音十二律与史记的文字记载比较，并附上与西方「参考音名」与「十二平均律的误差」计算。
古音十二律
史记文字
三分损益
史记数字
西方音名
十二平均律
三分损益与十二平均律偏差（%）
黄锺 八寸七分一 81 81（更正後） C 81 –
林锺 五寸十分四 54 54 G 54.0610 0.11
太簇 七寸十分二 72 72 D 72.1628 0.23
南吕 四寸十分八 48 48 A 48.1629 0.34
姑洗 六寸十分四 64 64 E 64.2898 0.45
应锺 四寸二分三分二 42.6667 42.6667 B 42.9083 0.56
蕤宾 五寸六分三分二 56.8889 56.6667 F# 57.2757 0.68
大吕 七寸五分三分二 75.8519 75.6667 C# 76.4538 0.79
夷则 五寸三分二 50.5679 50.6667 G# 51.0268 0.90
夹锺 六寸七分三分一 67.4239 67.3333 D# 68.1126 1.01
无射 四寸四分三分二 44.9492 44.6667 A# 45.4597 1.12
仲吕 五寸九分三分二 59.9323 59.6667 F 60.6814 1.23
音律与历法的配合
由於音律与一年中的月分恰好都定有十二个，於是在中国上古时代，人们便把十二律和十二月联系起来。依照《礼记．月令》上的记载，它们之间的对应为︰
孟春之月，律中太簇；
仲春之月，律中夹锺；
季春之月，律中姑洗；
孟夏之月，律中仲吕；
仲夏之月，律中蕤宾；
季夏之月，律中林锺；
孟秋之月，律中夷则；
仲秋之月，律中南吕；
季秋之月，律中无射；
孟冬之月，律中应锺；
仲冬之月，律中黄锺；
季冬之月，律中大吕。
所谓「律中」就是「音律的对应」，其徵验的方法则是凭「吹灰」。据说古人将十二根律管里塞入葭莩的灰，只要到了某个月份，相对应的那一只律管中的灰就会自动地飞扬出来，这便是「吹灰候气」、「夷则为七月之律」等词汇的典故。当然以今日的观点，吹灰候气并没有现实的根据。
值得注意的一点，十二律中最基本的是黄锺，而中国历法最基本的则是含有冬至的月份。《月令》中所列出的，正是以黄锺对应冬至所在的仲冬月份——子月（十一月）。